Hello~大家好，加拿大九年级数学是基础必修课程的关键基础学科，如果同学们有数学课的学习困难，需要及时的梳理思路，把问题难点解决。今天学姐为同学们分享数学专业课相关理论知识，希望可以帮助广大留学生梳理思路，学姐整理了非常详细的流程细节可以参考。
初值问题
通常一个给定的微分方程有无穷多个解，自然会问我们要用哪一个。要选择一个解决方案，需要更多的信息。一些可能有用的具体信息是基础资料，这是一个有序对，用于查找特定的解决方案。
带有一个或多个初始值的微分方程称为初值问题。一般规律是，初值问题所需的初值个数等于微分方程的阶数。例如，如果我们有微分方程 y'=2x，那么 y(3)=7 是一个初值，当这些方程合在一起时，就形成了一个初值问题。微分方程 y′′−3y'+2y=4ex 是二阶的，所以我们需要两个初始值。对于大于一阶的初值问题，自变量应使用相同的值。这个二阶方程的初始值的一个例子是 y(0)=2 和 y'(0)=−1. 这两个初值与微分方程一起构成一个初值问题。这些问题之所以如此命名，是因为未知函数中的自变量通常是 t，代表时间。因此，值为 t=0 代表问题的开始。
验证初始值问题的解决方案
验证该功能 y=2e−2t+et 是初值问题的解决方案
y'+2y=3et,y(0)=3.
解决办法
对于满足初值问题的函数，它必须同时满足微分方程和初始条件。为了证明这一点 y 满足微分方程，我们开始计算 y'。这给 y'=−4e−2t+et。接下来我们两者都替换 y 和 y' 放入微分方程的左边并简化:
y'+2y=(−4e−2t+et)+2(2e−2t+et)=−4e−2t+et+4e−2t+2et=3et.
这等于微分方程的右边，所以 y=2e−2t+et 解微分方程。接下来我们计算 y(0) ：
y(0)=2e−2(0)+e0=2+1=3.
该结果验证了初始值。因此，给定的函数满足初值问题。
解决初值问题
解决以下初始值问题:
y'=3ex+x2−4,y(0)=5.
解决办法
解决这个初值问题的第一步是找到一个通用的解族。为此，我们找到微分方程两边的反导数
∫y'dx=∫(3ex+x2−4)dx,
也就是说，
y+C1=3ex+13x3−4x+C2。
我们能够整合两边，因为y项是自己出现的。请注意，有两个积分常数: C1 和 C2。解这个方程 y 给
y=3ex+13x3−4x+C2−C1.
因为 C1 和 C2 都是常数，C2−C1 也是一个常数。因此，我们可以定义 C=C2−C1,这导致了等式
y=3ex+13x3−4x+C.
接下来我们确定 C。为此，我们用 x=0 和 y=5 进入这个方程并求解 C ：
55C=3e0+1303−4(0)+C=3+C=2.
现在我们用价值代替 C=2 变成一般的方程式。初值问题的解决方案是 y=3ex+13x3−4x+2.
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