加州大学洛杉矶分校数学课程MATh135内容涉及拉普拉斯变换、存在唯一性定理、傅立叶级数、偏微分方程变量解分离、斯特姆-刘维尔理论、变分法、两点边值问题、格林函数，等等。以下是该课程的重点概述。
一、课程概述
MATh135常微分方程课程的目标之一是提供微分方程的解法，重点是解决线性微分方程的拉普拉斯变换方法。这种方法将求解线性微分方程的任务转化为求解代数问题。同时还可以用来解决包含广义函数的微分方程(如不连续或狄拉克函数)。其他解法涉及傅里叶级数法、本征函数展开法和摄动法。
课程的另一个目标是向学生介绍常微分方程的理论。该理论的一个关键部分是确定微分方程解的存在唯一性。就像不是所有代数方程都有解一样，也不是所有微分方程都有解。所涉及的定理特别有用，因为这可以确定解的存在和唯一性，而不必解微分方程。
二、课程主题
1、线性常系数方程的解法及解的性质综述。
2、拉普拉斯变换。正向变换，反向变换。转换对示例。
3、微分方的拉普拉斯变换。用拉普拉斯变换解初值问题。
4、拉普拉斯逆变换的计算。
5、拉管拉斯变换的存在唯一性。分段连续函数。指数有界函数。
6、卷积定理的证明。亥维赛膨胀定理。
7、亥维赛函数和狄拉克分布。单位脉冲响应函数。使用单位脉冲响应函数。
8、存在唯一论。没有唯一解或整体解的微分方程的例子。李普希茨条件；李普希茨常数的测定。
9、存在唯一性定理证明概述。初步证明；最大范数，一致收敛，Weierstrauss M-检验。微分方程与积分方程的等价性。
10、皮卡德迭代。存在唯一性证明。
11、局部存在唯一性定理。局部存在唯一性定理的应用。
12、周期函数和傅立叶级数。周期函数幂级数通近的不足。傅立叶级数系数公式。傅立叶级数的例子。
13、傅立叶级数系数公式的推导。任意区间上周期函数的傅里叶级数。
14、函数内积。正交函数。利用内积推导傅里叶级数系数公式。
15、傅立叶级数的收敛定理：逐点收敛，平均收敛。
16、两点边值问题的特征值和特征函数。
17、一维热传导方程的分离变量解。
18、斯特姆-刘维尔问题。变分法。欧拉极值微分方程。等周问题。
同学可以将上文中列举的加州大学洛杉矶分校数学课程MATh135的重点作为自己预习和复习的框架，从而更好地进行学习规划和安排。
