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模态逻辑是形式系统的集合，旨在表示有关必要性和可能性的陈述。它在语言哲学，认识论，形而上学和自然语言语义学中起着重要作用。模态逻辑通过添加一元运算符来扩展其他系统{显示样式 钻石 }钻石和{显示样式 框 }框，分别表示可能性和必要性。
例如，模态公式{displaystyle Diamond p}钻石 p可以读作"可能{displaystyle p}p"虽然{显示样式 框 p}框 p可以理解为"必然{displaystyle p}p".模态逻辑可用于表示不同的现象，具体取决于所考虑的必要性和可能性。什么时候{显示样式 框 }框用于表示认识论的必要性，{显示样式 框 p}框 p声明{displaystyle p}p在认识论上是必要的，或者换句话说，它是已知的。
在模态逻辑的标准关系语义中，公式被分配了相对于可能世界的真值。公式在一个可能世界中的真值可能取决于其他可访问的可能世界中其他公式的真值。特别{displaystyle Diamond p}钻石 p在一个世界中是正确的，如果{displaystyle p}p在一些可访问的可能世界中是正确的，而{显示样式 框 p}框 p在一个世界中是正确的，如果{displaystyle p}p在每一个可访问的可能世界中都是如此。
存在各种各样的证明系统，这些系统在通过限制可访问性关系获得的语义方面是健全和完整的。例如，如果要求可访问性关系是串行的，则 deontic 模态逻辑 D 是健全和完整的。
那么K系统呢?
和命题逻辑的树形图方法类似。不过在每个命题旁边要标准一个自然数，表示某个可能世界。和命题逻辑相比，多了下面四条规则：
在第四个规则中，irj的j必须在前面没有出现过。
例1：用树形图验证：
例2：用树形图验证⊨ (◇p∧◇﹁q)→◇□◇p是否成立。
树形图没有封闭，所以(◇p∧◇﹁q)→◇□◇p不是有效式。从树形图中可以读出反模型：
其他正规系统
在框架上加一些限制条件，比如自返性、对称性、传递性、持续性。
自返性r：对任意的w，Rww
对称性s：如果Rwu，则Ruw
传递性t：如果Rwu且Ruv，则Rwv
持续性h：对任意的w，存在v，Rwv
在用树形图判定模态命题在这些系统中是否是有效式时，需要添加一些规则：
S5系统
在KV 中R是全通关系，即任意的u和v，Ruv。所以它的树形图比较简单，r无需出现。
所以可以用上述方法验证S5系统的有效式。
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